バナッハ=タルスキーのパラドックス

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この記事「バナッハ=タルスキーのパラドックス」は何故か「バナッハ=タルスキーの定理」とネタや題材がダブっています。どちらが真実なのかは神のみぞ知ります。

バナッハ=タルスキーのパラドックス (Banach-equal-Tarski paradox ) 、またはバナッハとタルスキーの同一性定理とは、ひとつの球をいくつかの断片に分割し、それを上手く組み立て直すと元と全く同じ球が二つ作れるという定理。バナッハとタルスキーは、数学者が絶対正しいと信仰している選択公理から、この定理が正しいことを証明した。

彼らと一部の数学者は、この定理を使って、金の球(玉ではない)を分割して倍の金の球(玉ではない)に組み立て直し、大儲けしようと企てたが全員失敗し、このために借金を重ねて自殺する数学者まで現れた。

大損して怒り狂った数学者達は、バナッハとタルスキーの証明に間違いがあれば、裁判を起こして損した金額を弁償させようとしたが、どう逆立ちしても間違いを見つけることができなかった。そこで、この定理をパラドックスということにして、金を二倍にしようとする馬鹿な数学者がこれ以上現れないように戒めた。なお、数学者以外の人達は、選択公理など端から信じてなかったので、誰一人被害に遭わなかったと言われている。

これだけ失敗すれば、バナッハとタルスキーの同一性定理を導いた選択公理の方に間違があることは小学生にも分かることだが、盲目が信仰を支えているという事実通り、数学者は今日も選択公理の経典を紐解き、新たな間違いだらけの定理を証明し続けている。

背景[編集]

この定理は1924年に、ステファン・バナッハとアルフレト・タルスキーの2人によって提唱された。

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ステファン・バナッハ
ポーランドの恋愛小説家(趣味は数学)。1882年生1945年没。
無限の距離で遠距離恋愛をする二人を描いた著作『甘美な距離空間』は、通信理論の数学者ノーバート・ウィーナーらから「アイディアを盗まれた」と難癖をつけられる。
アルフレト・タルスキー
ポーランドで生まれアメリカで活躍した落語家(趣味は数学)。1901年生1983年没。亭号は“有振亭 樽好”。
新作落語『定義不可能性定理』を発表するが、これは『不完全性定理(作:狂亭芸出)』もろパクリであると批判された。

このように2人とも“盗作疑惑”を掛けられ、同じ境遇に意気投合した2人は、著書を構成し直して倍に増やす方法がいけないのなら、物を構成し直して倍に増やす方法を考えるようになった。そうこうしているうちにこの定理を発見し、金を倍に増やそうとしたが失敗。それならば、この定理を発表して誰かにやらせ、成功したら特許申請して大儲けしようとしたが、誰も成功しなかったので特許申請は見送られた。


定理の証明[編集]

1cmの線分と2cmの線分は丁度同じ数だけ点を含むことがカントールによって証明されている。よって、1cmの線分を点に分解し、これを組立て直すと1cmの線分を二つ作ることができる。

同様に、直径1cmの球と、直径1cmの球二つは丁度同じ数だけ点を含んでいるから、1cmの球を点に分解し、これを組立て直すと直径1cmの球を二つ作ることができる(はず)。A.E.D.


現在では、以下のように証明の改良が進められている。

改良された定理の証明[編集]

直径1mmの球と、直径10cmの球は丁度同じ数だけ点を含んでいることがカントールによって証明されている。よって、1mmの球全体を点に分解し、これを組立て直すと直径10cmの球を作ることができる(はず)。A.E.D.


これで、直径1mmの金の球を直径10cmの金の球にできることから、金欠病の数学者でも無理なく大儲けできるチャンス到来と見られ、集合論を研究する数学者の約8割が直径1mmの金の球(玉ではない)を買い求めるために貴金属店へ殺到したと言われている。

関連項目[編集]