バナッハ=タルスキーの定理

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バナッハ=タルスキーの定理 (Banach-equal-Tarski paradox ) 、またはバナッハとタルスキーの同一性定理とは、まったく違うように見える2つの事象が、有限個の部分に分割して適当に組み替えることで、同一の事象とみなすことができるという定理。内容が直観に反するためにパラドックスと言われる。

背景[編集]

この定理は1924年に、ステファン・バナッハとアルフレト・タルスキーの2人によって提唱された。

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ステファン・バナッハ
ポーランドの小説家。1882年生1945年没。
著作の中でも、時を経るごとに仲が近づいていく二人の恋愛を描いた『甘美な距離空間』は、時代を切り開いた名著として名高い。しかしそれゆえに、ノーバート・ウィーナーを始めとする何人かの小説家から、「自分の方が先に考えていた」「アイディアを盗まれた」などと難癖を付けられるようになってしまった。
アルフレト・タルスキー
ポーランドで生まれアメリカで活躍した落語家。1901年生1983年没。亭号は“有振亭 樽好”。
新作落語『定義不可能性定理』を発表するが、これが以前に発表されている『不完全性定理(作:狂亭芸出)』の盗作ではないか、という指摘を多くの評論家から受け、批判された。

このように、2人とも“盗作疑惑”に悩まされたという共通の経験がある。 それをきっかけに意気投合した2人は、世間に対して反論を試みるべく本定理を共同で発表した。 どんなものでも共通点があり、それらを選択して集めることができる。すると、全く違うものであっても、まるで同一の存在であるかのように見えてしまう という主張こそが、本定理の真の狙いだったのである。

定理の証明[編集]

盗作疑惑の他にも、バナッハとタルスキーの間には以下のような共通点がある。

これだけ一致しているのだから、もはや同一人物といって差し支えない。Q.E.D.

反応[編集]

バナッハとタルスキーがこの定理を発表したのは、直感にそぐわない結論を導き出すことにより、「共通点を無理に取り立てる」という選択行為の誤りを指摘するためであった。 しかし2人の予想を裏切ることに、人々の実際の反応は、「世の中には不思議なこともあるものだ」という若干の驚きを交えつつも、 “バナッハとタルスキーは同一人物である”という事実を受け入れてしまうものであった。 それから現在に至るまでに数学者の間では、一部の頭の固い者を除き、この事実は不動のものであるという認知が広まっていったのである。

現在では、以下のように証明の改良が進められている。

分割合同[編集]

初期の証明では、相違なる点もまたいくらでも挙げることができるため、完璧な証明とは言えなかった。 しかし実際のところ、二人は ほとんど至るところで合同である。 それを示すため、まず分割合同の説明をする。

分割合同の例
分割合同
2 つの物体A , B があり、それぞれをn 個の互いに素な部分に分割し、A1 , ……, An , B1 , ……, Bn とする。このとき、任意のi に対してAiBi が合同であるとき、「AB は分割合同である」と言う。

すると以下のことが言える。

定理[編集]

バナッハとタルスキーは分割合同である。

証明[編集]

ある錬金術師によると、人体を構成する物質の成分は判明しており、それらを揃えれば人体を錬成できるという。 つまり、バナッハを分子レベル、あるいは原子レベルにまで分割し、適当に組み直すことで、タルスキーを練成することが可能である。 よって、バナッハとタルスキーは分割合同である。 なお、タルスキーがほぼ組みあがったところで原子・分子の過不足分が出るかもしれないが、些末なものなので無視してよい。Q.E.D.

トポロジー[編集]

位相幾何学の分野においては、人体は口から肛門まで繋がる穴を持った、一つのチューブと見なされる。 もちろんバナッハやタルスキーも例に漏れない。 つまりS^1×Iと人体はたいていの場合、位相同型であるということになる。(厳密には鼻の穴、ケツの穴、おめこ、尿道、耳の穴、穴と雪の女王などその人の穴の個数によってそのホモトピータイプがかわってくるので注意が必要) また、モース理論をつかうと特に女体を対象におっぱいのハンドル分解が可能になる。

定理の応用[編集]

1925年には、タルスキー自身によって定理の拡張がなされた。 自分の主張が思い通りの結果をもたらさなかったことにショックを受けたタルスキーはそれ以来、 高座に上がってどんな演目をやっても、まったく変わり映えのない芸しかできなくなってしまったのである。 当時の常連客の言を引用すると、「まぁるい芸を全部おんなじ四角い枠に嵌めちまってる」といった具合である。 このように、何もかもを同じものにしてしまう(ことができる)ことを、タルスキーの演席問題という。

関連項目[編集]