ヒルベルト・プログラム

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ヒルベルト・プログラムとは、ダフィット・ヒルベルトが、「数学は完全だ!そのことを証明してやる!!」と意気込んで進めた計画である。 数学においてすべての正しい論理式を導けるように数学そのものをいじくる計画だったが、ゲーデルの不完全性定理のおかげで頓挫したとされる。

概要[編集]

ヒルベルトは、数学が完全で、無矛盾なものかどうか気にしていた。 そこで、証明をかんたんにすることで、面倒くさいことはなかったことにし、数学全体の完全性無矛盾性を示そうと考えた。つまり、

  1. 正しいことは証明できるはず
  2. 正しいことから話を進めれば、矛盾が示されることは絶対にないはず

ということを、証明しようとしたのである。有名なヒルベルトの23の問題のひとつだとか。

しかし、ヒルベルトはこの計画を、ゲーデルの不完全性定理が現れるや否や投げ出してしまった。 何とも無責任な話である。

ちなみに、ヒルベルトは匙を投げたこの計画であるが、我々はこれを示すことができる。

証明[編集]

ゲーデルによると、すべての論理式は自然数と対応付けられる(ゲーデル数)。 ここで、「正しい」論理式があるとすると、これは自然数に対応する。「真である」ということに対応する自然数をとすれば、も自然数であるから、1=2の法則より、

よって、が真であることが示された。

これで、上記の1は証明できた。同様に2も証明できる。ここでは正しいことしか前提に用いていないからである。


……ん?まてよ…これだとが偽であることも証明でk粛清されました

結論[編集]

こんなこと、どうでもいい(=無駄な努力)。

関連項目[編集]


身長 この項目「ヒルベルト・プログラム」は、内容が足りません土井さんの身長のように。この記事をhydeも羨むように成長させてあげてください。お願いします。 (Portal:スタブ)