集合

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集合(しゅうごう)とは、「集まること」のカッコイイ言い回し、あるいは「集まったもの」を2文字で指すことができる便利な言葉である。

概要[編集]

集合は、集まったものは何でもかんでも集合である。この記事を書いたとこの記事を読むあなた集合である。「集合した覚えが無い!」という方は、ちょっとこっちへおいで。 また、集合を構成するひとつひとつの部品を要素と呼ぶ。「あなた」も「」もとどの詰まり要素である。要素である以上、あなたもこの集合から逃れることができない。フフフ。

数学における集合[編集]

集合という概念は、大変便利な言葉であるため、数学の分野でも利用される。しかし、数学における集合は、日常的な集合と趣を異にするので、これを以下にまとめた。

集合の四則演算[編集]

集合は、他の数や文字式のように、足したり引いたり掛けたり割ったりできる。その一方で、例えば、足す集合と足される集合に同じ要素が含まれていたらどうなるのだろう。もしこの要素が人間で、同じ要素(人間)を持つ集合どうしが足されたら、和の集合にはその検閲により削除。なので、集合の演算には注意しなければならない。

要素が1個しかない集合[編集]

数学では、それ自身に要素を1つしか有さないものも集合として取り扱うことができる。一見、インチキのように思われるかもしれないが、日常においてもこのような事例は発生しうる。

  • 「遊びたい奴この指に集合ー!」と呼びかけたが誰も集まらず、集合が自分1人になってしまった場合。
  • 講義に赴いてみたら、実は臨時休講で自分以外誰もいなかった場合。

要素が1個もない集合[編集]

ここまでくると、もはやインチキにしか見えない気がするが、集合である。このような要素の無い集合を、空集合 Фなどと呼ぶ。間違っても空襲号ではない。空っぽの集合である。例えば、この記事を読んでいるあなたの空っぽな心などは空集合である。

注意[編集]

上でものの集まりを集合というと述べたが,どんな集まりでも集合になるとは限らない.その典型的な例が「集合全体の集まり」である.なんとこれは集合にはならんのである.集合だけでなく群や環や体や加群やベクトル空間や位相空間や順序数も全部持ってくると集合でなくなる.

しかしながら,「この世にある集合を全部持ってくる」というバカでかい数字が大好きな小学生でも思いつく簡単な操作で集合でないものができちゃうというのは使い勝手が悪いのだ.じゃあ通常の数学ではどうするかというと,そういうヘンな集まりは考えないというよく考えると何の解決にもなってない見苦しい手段をとる.

解決方法は集合を拡張した「圏」とか「クラス」というものを導入することである.例えば集合全部の集まりは,集合を対象,写像を射として圏となる.群,環,体の全体はこれらを対象,準同型を射として圏となる.位相空間の全体は位相空間を対象,連続写像を射としry

これは確かに上の問題を解決しているが,誰も理解できないという新たな問題を内包しているので大変扱いが難しい.

関連項目[編集]

Wikipedia
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