驚くべき証明を見つけたがそれを書くには余白が狭すぎる

驚くべき証明を見つけたがそれを書くには余白が狭すぎる（Marvelous Proof Which This Margin Is Too Narrow To Contain,略称MPMN）とは数学における証明の手法のひとつ。だがそれを完全に説明するには余白が狭すぎる。

歴史[編集]

この証明方法を歴史上始めて用いた人物は、フランスの数学者フェルマーである。彼は自身が考えたフェルマーの最終定理の証明を次のような、MPMNを用いた驚くべき手法で行った。:

まず $X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$

という式がある。

{\begin{aligned}X^{n}+Y^{n}\\&=(X^{n}-1)+(Y^{n}-1)+2\\&=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+\ldots +X+1)+(Y-1)(Y^{n-1}+Y^{n-2}+\ldots +Y+1)+2\\&=(X-1)\sum _{a=0}^{n-1}X^{a}+(Y-1)\sum _{b=0}^{n-1}Y^{b}+2\end{aligned}}

となる。ここで

{\begin{aligned}(X-1)\sum _{a=0}^{n-1}X^{a}+(Y-1)\sum _{b=0}^{n-1}Y^{b}+2&=Mpmn(:-P)\end{aligned}}

　　　　―(ⅰ)

と出来る。次に

Z^{n}={\begin{cases}Z^{2p}&{\mbox{if }}n\equiv 0\\Z^{2q-1}&{\mbox{if }}n\equiv 1\end{cases}}{\pmod {2}}.

とすると、

{\begin{aligned}Z^{2p}&=(Z^{p}+1)(Z^{p}-1)+1\\&=(Z^{p}+1)(Z-1)\sum _{s=0}^{p-1}Z^{s}+1\\&=Mpmn\times Mpmn={Mpmn}^{2}\end{aligned}}

　　　　　　　　(ⅱ)

{\begin{aligned}Z^{2q-1}&=Z\times Z^{2q}\\&=Z{Mpmn}^{2}\\\end{aligned}}

　　　　　　　　(ⅲ)

よって矛盾。同様に $X^{n+1}+Y^{n+1}=Z^{n+1}$ のときも矛盾が生じるのだがその証明を書くにはあなたのパソコンのメモリの容量が少なすぎる。ここで数学的帰納法により定理は証明される。

ちなみにこれを模倣して、

「 $W^{n}+X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$ を満たす整数w,x,y,zが存在しないことを証明する驚くべき方法を見つけたが、それを書くにはページが狭すぎる」と言い遺し死んだ人もいるが、こちらはあっさりと反例が挙げられてしまった。かっこワルイネ!

この定理の知名度はかなり低いが、実は数学のほぼすべての問題に応用できる。例えば東大の入試の証明問題などもこの証明方法でほとんど解けてしまう。東大を受けようとしている画面の前の学生諸君には、ぜひ本番でこの方法を試してもらいたい。

また数学以外の様々な分野でもこの証明方法を使うことが出来る。

例

→あれだということを驚くほどナイーブに表現できる。

→NASAだろうがホワイトハウスだろうが一発就職間違いなしである。

→スイーツ(笑)な女性などこの一言でメロメロである。

→ダルシムだろうがセガールだろうがタジタジである。

etc...

……あれ？結構余白あるじゃん？