1=2

秀逸な記事

この記事は秀逸な記事だよ。書いた本人とひよこ陛下が言うんだから間違いない。より素晴らしい記事にできるってんなら、してみやがってください。お願いしましたよ。

ちょっと待っててね…

この項目「1=2」は、執筆者が編集しすぎて大変重くなっています。表示されるまで少し時間がかかりますが、カップラーメンでも食べながら気長にお待ち下さい。

	この記事は情報が多すぎてグダグダです。
	長文耐性が無ければ全部読むと頭が爆発してしまうかも。 内容を削るか記事を分割することで爆発の危険を抑え、ご家庭での使用に適した記事になります。

「そして二人は、ひとつになった。」
〜 1=2 について、官能小説

「納期が1日遅れると2日遅れる、2日遅れると4日遅れる」
〜 1=2 について、IT関係者

「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」
〜 1=2 について、ピエール・ド・フェルマー

「あらゆる数は1である。いかなる差異もありはしない。」
〜 1=2 について、法の書

「1＝2＝3ダー！！」
〜 1=2 について、アントニオ猪木

1=2とは、1は2と等しいという大いなる謎である。

困惑した科学者たち

1=2の謎は千年に渡って科学者、数学者を困惑させた。事態は至って単純で、単に「2は1であり、1は2である」というだけである。しかし何人かの科学者は彼らのママが2の存在を信じていることから、ママのためにこの謎について論争をしている。

2は西暦102年に発見された。これはそもそも西暦103年を迎えるためだったと考えられている（それまでどのように新年を迎えてきたのか、という質問はしないでほしい）が、それからというもの、人間はエイリアンの企みによって弄ばれる羽目となる。

1=2問題の解決

1960年代後半、イギリスの数学者アレレー・バーによって「1=2」の命題が肯定的に解決されるまで、「1=2」が正しいか否かは数世紀に渡って数学界最大の謎とされてきた。それまでの数学者たちは皆、1と2が等しいことに経験則として気付いていたが、それを数学的に証明するすべを持たなかったのである。アレレー・バーは自らが発見したバーの法則を巧みに用いて見事に「1=2」を証明してみせ、数学界に多大な衝撃を与えた。バーの証明以降、それを参考とした様々な証明方法が多くの数学者によって考案され、現在に至っている。

証明

1=2は数学における基本的な定理なので、何百種類もの証明方法が知られている。 ここでは、そうした証明方法のほんの一部を紹介する。

小学生でも理解できる証明

四捨五入を利用した証明

$1.45$を小数第2位で四捨五入すると$1.5$

これを小数第1位で四捨五入すると$2$ ……A

一方、$1.45$を小数第1位で四捨五入すると$1$ ……B

A、Bより

$1.45=1=2$

あまりを利用した証明方法

3 ÷ 2 = 1 あまり 1

5 ÷ 4 = 1 あまり 1

2つとも答えが同じなので

5 ÷ 4 = 3 ÷ 2

両辺に4を掛けて

5 ÷ 4 × 4 = 3 ÷ 2 × 4

整理すると

5 = 6

両辺から4を引くと

5 - 4 = 6 - 4

1 = 2

たし算を利用した証明方法

0 = 0 + 0 + 0 + … = (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + …

= 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …

= 1 + 0 + 0 + 0 + …

= 1

このことから

0 = 1

両辺に１を足して

1 = 2

かけ算を利用した証明方法１

0 = 0

0に何を掛けても0なので

1 × 0 = 2 × 0

両辺を0で割り

1 = 2

かけ算を利用した証明方法２

1 + 1 = 2

両辺に2を掛けて

1 + 1 × 2 = 2 × 2

3 = 4

両辺から2を引いて

1 = 2

わり算を利用した証明方法

0 = 0

0 ÷ 1, 0 ÷ 2は共に0であるからして、

1 = 2

9で割る証明法

1 ÷ 9 を計算すると

1 ÷ 9 = 0.1111111111111…

両辺に9を掛けると

1 = 0.9999999999999…

さらに両辺に10000000000000…を掛けると

9999999999999… = 10000000000000…

両辺から999999999…を引くと

0 = 1

両辺に1を足して

1 = 2

中高生なら理解できる証明

初等代数を使った証明１

b = a

とする。この両辺に a を足すと

a + b = 2a

両辺から 2b を引くと

a - b = 2a - 2b

(a - b) = 2(a - b)

両辺を (a - b) で割ると

1 = 2

初等代数を使った証明２

b = a

とする。この両辺に a をかけると

$a^{2}=ab$

両辺から $b^{2}$を引くと

$a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$

因数分解して

(a - b)(a + b) = b(a - b)

両辺を (a - b) で割ると

a + b = b

両辺からbを引いて

a = 0

両辺をaで割って1を足すと

2=1

両辺を入れ替えて

1=2

ひき算を利用した証明

1 - 3 = 4 - 6

両辺に 9/4 を加えると

$1-3+{\frac {9}{4}}=4-6+{\frac {9}{4}}$

式を変形すると

$1^{2}-{\frac {6}{2}}+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}=2^{2}-{\frac {12}{2}}+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}$

両辺を因数分解して

$\left(1-{\frac {3}{2}}\right)^{2}=\left(2-{\frac {3}{2}}\right)^{2}$

両辺の平方根をとって

$1-{\frac {3}{2}}=2-{\frac {3}{2}}$

両辺に3/2 を加えると

1 = 2

冪乗を利用した証明1

1^0＝2^0

1=1

よって1＝2

冪乗を利用した証明2

$-1=(-1)^{1}=(-1)^{\frac {2}{2}}$

指数法則より

$(-1)^{\frac {2}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1$

よって -1 = 1

両辺に1を足して、2で割って、1を足すと

1 = 2

連立方程式を利用した証明

次のような連立方程式がある。

${\begin{cases}2x+3=7&\cdots (A)\\-8x-12=-29&\cdots (B)\end{cases}}$

(A) × 4 + (B) より

0 = -1

両辺に 2 を加えると

2 = 1

両辺を入れ替えて

1 = 2

2次方程式を利用した証明

$x^{2}-5x+6=0$

という式を考える。

xについて解くと、

x=2,3

よって 2=3

両辺から1を引いて　

1=2

電卓を利用した証明

1÷3 = 1/3

また、電卓によると、1÷3 = 0.3333333 = 3333333/10000000

よって、1/3 = 3333333/10000000

両辺を通分して

10000000/30000000 = 9999999/30000000

両辺に30000000をかけて

10000000 = 9999999

両辺から9999998を引いて反対にすると

1 = 2

絶対値を利用した証明

${\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$

1/2=|1/2|より

$\left|{\frac {1}{2}}\right|=\left|{\frac {1}{2}}\right|$

|±1/2|=1/2より

$-{\frac {1}{2}}=+{\frac {1}{2}}$

両辺に3/2を加えると

1 = 2

階乗を使った証明

0! = 1!

両辺を!で割って

0 = 1

両辺に1を足すと

1 = 2

組み合わせを利用した証明方法

3個のものから1個を選ぶ組み合わせは

₃C₁ = 3 通り ……A

3個のものから2個を選ぶ組み合わせは

₃C₂ = 3 通り ……B

A,B より、1個選んでも2個選んでも変わらないので 1=2 である。

背理法による証明

1 ≠ 2

と仮定する。両辺に0を掛けると、

0 ≠ 0

これは明らかに誤りである。つまり仮定も誤りとなる。従って

1 = 2

最大値を使った証明

すべての整数の中で最大のものを A とおく。一般に、

A + 1 ≧ A

A は最大の整数だから、

A ≧ A + 1

ゆえに

A = A + 1

両辺から A-1 を引くと

1 = 2

∞を使った証明1

∞に1を足すと∞になる。

∞ + 1 = ∞

また、∞に2を足しても∞になる。

∞ + 2 = ∞

つまり、

∞ + 1 = ∞ + 2

両辺から∞を引いて

1 = 2

∞を使った証明2

1 ÷ 0 = ∞

これはy=1/xのグラフより明らか。よって、

0 × ∞ = 1

なので、

(0 × ∞) + (0 × ∞) = 2

結合法則により、

(0 + 0) × ∞ = 2

0 × ∞ = 2

左辺は1なので

1 = 2

一次関数を使った証明

直線 y = 2xを考える。

関数は従属変数と独立変数が1対1対応しているので、x座標の数とy座標の数は等しい。…①

また、このグラフでは定義域[0,1]において値域は[0,2]である。…②

①②より、幅が1の区間と幅が2の区間に存在する点の数は等しい。

よって、1 = 2

三角関数を使った証明

$\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

また、

$\sin {\frac {2\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

よって

$\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin {\frac {2\pi }{3}}$

両辺のsinをとって

${\frac {\pi }{3}}={\frac {2\pi }{3}}$

これに3をかけてπで割れば

1 = 2

対数を使った証明

$\log _{2}1=\log _{3}1$

よって、2 = 3

両辺から1を引いて、1 = 2

虚数を使った証明1

${\begin{aligned}i&={\sqrt {-1}}\\&=(-1)^{\frac {1}{2}}\\&=(-1)^{\frac {2}{4}}\\&=((-1)^{2})^{\frac {1}{4}}\\&=1^{\frac {1}{4}}\\&=1\end{aligned}}$

よって

$i=1$

両辺を2乗すると

-1 = 1

両辺に3を加えて2で割ると

1 = 2

虚数を使った証明2

${\begin{aligned}i&={\sqrt {-1}}\\i^{2}&=({\sqrt {-1}})^{2}\\&=-1\\\end{aligned}}$

一方で

${\begin{aligned}i^{2}&={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {(-1)(-1)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1\\\end{aligned}}$

よって

$-1=1$

両辺に3を加えて2で割ると

$1=2$

指数を使った証明

$0^{0}$という数を考える｡

0は何乗しても0なので

$0^{0}=0$

また､どんな数も0乗すると1なので､

$0^{0}=1$

従って､

0 = 1

両辺に1を足して

1 = 2

複素数を使った証明

${\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}$

両辺のルートを取って

${\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}$

ルートを分子・分母へ

${\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}$

-1の平方根は虚数単位 $i$ で、1の平方根は1である。すなわち

${\frac {i}{1}}={\frac {1}{i}}$

両辺に1/2を掛ける

${\frac {i}{2}}={\frac {1}{2i}}$

数式を簡単にするために $3/(2i)$ を足す:

${\frac {i}{2}}+{\frac {3}{2i}}={\frac {1}{2i}}+{\frac {3}{2i}}$

そして $i$ を掛ける

$i\left({\frac {i}{2}}+{\frac {3}{2i}}\right)=i\left({\frac {1}{2i}}+{\frac {3}{2i}}\right)$

それぞれ展開する

${\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {3i}{2i}}={\frac {i}{2i}}+{\frac {3i}{2i}}$

$i$ の二乗は-1であるから

${\frac {-1}{2}}+{\frac {3i}{2i}}={\frac {i}{2i}}+{\frac {3i}{2i}}$

分子・分母から $i$ を払うと

${\frac {-1}{2}}+{\frac {3}{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}$

両辺を計算すると

1 = 2

無限級数を使った証明1

A を次のような無限級数とする。

$A=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\cdots$

加減の順番を変えると、

$A=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}\cdots$

$={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\cdots$

$={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\cdots \right)$

右辺の括弧内は A に等しいから、

$A={\frac {1}{2}}A$

両辺を A/2 で除算すると:

1 = 2

無限級数を使った証明2

次のような無限級数を考える。

$1-2+3-4+5-6+\cdots$

$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots$

$=-1-1-1-\cdots$

$=-\infty$

また、

$1-2+3-4+5-6+\cdots$

$=1+(-2+3)+(-4+5)+\cdots$

$=1+1+1+\cdots$

$=\infty$

ゆえに

-∞ = ∞

両辺を∞で割って

-1 = 1

両辺に3を足して2で割って

1 = 2

無限級数を使った証明3

s を次のような無限級数とする。

$s=1+2+4+8+16\cdots$

これは明らかに∞である。しかし変形すると

$s=1+2\left(1+2+4+8\cdots \right)$

$=1+2s$

$=-1$

故に

-1 = ∞

両辺に∞を掛け、また∞で割ると

-1 = 1

両辺に3を足して2で割って

1 = 2

無限連分数を使った証明

${\begin{aligned}1&=3-{\frac {2}{1}}\\&=3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{1}}}}\\&=3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{1}}}}}}\\&=\cdots \cdots \\&=3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}$

一方で

${\begin{aligned}2&=3-{\frac {2}{2}}\\&=3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{2}}}}\\&=3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{2}}}}}}\\&=\cdots \cdots \\&=3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{3-{\frac {2}{...}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}$

2つの値は同じになることから

1 = 2

三角関数の逆関数を用いた証明

三角関数の性質より

$\tan(\pi +A)=\tan A$

ここで $A=-{\frac {\pi }{2}}$ とおくと、

$\tan {\frac {\pi }{2}}=\tan \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)$

ここで、

${\begin{cases}\tan ^{-1}B={\dfrac {\pi }{2}}\\[.5em]\tan ^{-1}C=-{\dfrac {\pi }{2}}\end{cases}}$

となるB, Cを定義すると、上記の式より B = C が言える。

また、

$-\tan ^{-1}C=\tan ^{-1}B$

であるから

$-\tan ^{-1}B=\tan ^{-1}B$

ここで $\tan ^{-1}B=D$ とおくと

$-D=D$

D は上述のとおり0ではないので、両辺Dで割ることができる。

-1 = 1

両辺に3を足し、2で割ると

1 = 2

Euler（オイラー）の公式による証明

Eulerの公式

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

に $\theta =2\pi$ を代入すると、

${\begin{aligned}e^{2i\pi }&=\cos {2\pi }+i\sin {2\pi }\\&=\cos(2\pi +2\pi )+i\sin(2\pi +2\pi )\\&=\cos {4\pi }+i\sin {4\pi }\\&=e^{4i\pi }\\\end{aligned}}$

よって

$e^{2i\pi }=e^{4i\pi }$

両辺の自然対数をとると

$2i\pi =4i\pi$

両辺を $2i\pi$ で割ると

$1=2$

ネイピア数の微分を用いた証明

$f(x)=e^{x}$

を1回微分すると

$f'(x)=e^{x}$(①)

また、これを2回微分すると

$f''(x)=e^{x}$(②)

①②より、1回微分しても2回微分しても同じなので

1=2

根号の累乗${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}$を用いた証明

${\sqrt {2}}$の肩に${\sqrt {2}}$が無限に乗っている数${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}$を A とする。

ここで、${\sqrt {2}}$が無限に続くので${\sqrt {2}}$の肩に乗っている数もAである。すなわち

$A={\sqrt {2}}^{A}$

これを解いて

A = 2, 4

すなわち

2 = 4

両辺を2で割って

1 = 2

極限を使った証明

r が正の数のとき、

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{r}}=r^{0}=1$

であることから、r の∞乗根は1であり、r+1 の∞乗根も1である。ゆえに

$1^{\infty }=r=r+1$

よって、r=1 を代入すると

1 = 2

極限を使った証明 その2

極限の定義より

0.999999999…＝1

両辺に1000000000…を掛けて

99999999…＝1000000000…

よって両辺から99999999…を引いて

0＝1

両辺に1を足して

1＝2

sinの極限を用いた証明

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ が成り立つことは一般に知られている。

すなわち、$x\to 0$ のとき、$\sin x=x$ だから、$\sin x$ は $x$ に置き換えが可能である。…(*)

ここで、$\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$ である。

両辺の極限をとると、

$\lim _{x\to 0}\sin {\frac {\pi }{6}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{2}}$

(*)より $x\to 0$ の時

$\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {\pi }{6}}$

であるから、

$\lim _{x\to 0}{\frac {\pi }{6}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\pi }{6}}={\frac {\pi }{6}},\ \lim _{x\to 0}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$ であるから、

${\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$

両辺を6倍して、πを引くと

$0=3-\pi$

両辺を $3-\pi (\neq 0)$ で割り、1を足せば

1 = 2

sinの微分を用いた証明

(sinθ)' = cosθ　…　①

は一般的に成り立つ。

また、θ = π-θ を代入しても成り立つから、

{sin(π-θ)}' = cos(π-θ)　…　②

②の式より、

(sinθ)' = -cosθ

①②より、

cosθ = -cosθ

両辺を cosθ で割り、3を足して2で割れば

2 = 1

三角関数の約分を利用した証明1

${\frac {tanx}{n}}$ 、 ${\frac {sinx}{n}}$という2つの関数を考える。（ｎ≠0）

ここで、x＝0とすると

${\frac {tanx}{n}}={\frac {sinx}{n}}$

ここでこの式を良く見ると、nで約分できることが分かる。

${\frac {ta(n)x}{(n)}}={\frac {si(n)x}{(n)}}$

実際に約分を行うと

tax＝six

単位を付加して

tax (%) = six (%)

これにより任意の税率は6％である。しかし、日本の消費税率は10％であるから

10=6

両辺を入れ替え

6=10

両辺を2で割り、1を引いてから2で割ると

1=2

三角関数の約分を利用した証明2

x=nとする。

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{n}}=1$

ここで n≠0 より、左辺はnで約分できるから

$\lim _{x\to 0}six=1$

$\lim _{x\to 0}6=1$

$6=1$

両辺を入れ替え、4を足して5で割ると

1=2

双曲線関数と三角関数の関係を利用した証明

$\cos iz=\cosh z$

両辺を$\cos z$で割ると

$i={\rm {h}}$ …①

また，

$\sin iz=i\sinh z$

両辺を$\sin z$で割ると

$i=i{\rm {h}}$

両辺を$i$で割って

$1={\rm {h}}$ …②

①, ②より

$i=1$

両辺を2乗すると，

$i^{2}=1$

ここで，$i^{2}=-1$を用いて

$-1=1$

両辺に3を加え，2で割ると

1 = 2

定積分を使った証明

$\int _{t}^{2t}{\frac {2x}{t^{2}}}dx=\left[{\frac {x^{2}}{t^{2}}}\right]_{t}^{2t}={\frac {(2t)^{2}}{t^{2}}}-{\frac {t^{2}}{t^{2}}}=3$

ここで

$\lim _{t\to \infty }{\frac {2x}{t^{2}}}=0$

従って

$3=\lim _{t\to \infty }3=\lim _{t\to \infty }\int _{t}^{2t}{\frac {2x}{t^{2}}}dx=\int _{t}^{2t}\lim _{t\to \infty }{\frac {2x}{t^{2}}}dx=\int _{t}^{2t}0dx=0$

両辺を3で割って1を足すと

2 = 1

部分積分法を使った証明

f(x),g(x) を$\mathbb {R}$上微分可能な関数とすると、一般に

$\int {f'(x)g(x)dx}=f(x)g(x)-\int {f(x)g'(x)dx}$

$\left({\frac {1}{f(x)}}\right)'={\frac {-f'(x)}{(f(x))^{2}}}$

が成り立つことから、 $\forall x\in \mathbb {R}$ に対して $f(x)\neq 0$ なる関数f(x)について

$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=f(x){\frac {1}{f(x)}}-\int {f(x){\frac {-f'(x)}{(f(x))^{2}}}dx}=1+\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx$

最左辺と最右辺から $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx$ を引いて1を足すと

1 = 2

区分求積法を用いた証明

ディリクレ関数 f(x)（xが有理数のときは 1 で、無理数のときは 0 となるような関数）について区間 [0, 2] 定積分を考える。

また、$S=\int _{0}^{2}{f(x)dx}$ をおく。

次に、[0, 2] を3つの区間 $[0,\ 1],\ \left[1,\ {\sqrt {2}}\right],\ \left[{\sqrt {2}},\ 2\right]$ に分け、各区間ごとの f(x) の定積分をそれぞれ

$S_{1}=\int _{0}^{1}f(x)dx$

$S_{2}=\int _{1}^{\sqrt {2}}{f(x)dx}$

$S_{3}=\int _{\sqrt {2}}^{2}{f(x)dx}$

とおく。これらの定積分を区分求積法で求める。

まず S について、区間 [0, 2] をn等分した中のk番目のx座標を x_k とすると

$x_{k}=0+{\frac {2-0}{n}}k={\frac {2k}{n}}$

であり、区分求積法を用いると

$S=\lim _{n\to \infty }{\frac {2-0}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})$

同様に S₁，S₂，S₃について、各積分区間をn等分した中のk番目のx座標をそれぞれ y_k，z_k，w_kとすると、

$y_{k}={\dfrac {k}{n}}$

$z_{k}=1+{\dfrac {k}{n}}({\sqrt {2}}-1)={\dfrac {(n-k)+{\sqrt {2}}k}{n}}$

$w_{k}={\dfrac {(n-k){\sqrt {2}}+2k}{n}}$

よって区分求積法を用いると、

$S_{1}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(y_{k})$

$S_{2}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2}}-1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(z_{k})$

$S_{3}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2-{\sqrt {2}}}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(w_{k})$

ここで x_k，y_kは有理数であるので、

$f(x_{k})=f(y_{k})=1$

となる。これより

$\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})=\sum _{k=1}^{n}f(y_{k})=n$

であるので、

$S=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{n}}\cdot n=2$ …①

$S_{1}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\cdot n=1$

となる。

また z_k，w_k について、w_n=2 を除いて無理数であるので、

$f(z_{k})=f(w_{k})=0$

$f(w_{n})=1$

となる。これより

$\sum _{k=1}^{n}f(z_{k})=0$

$\sum _{k=1}^{n}f(w_{k})=1$

であるので、

$S_{2}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2}}-1}{n}}\cdot 0=0$

$S_{3}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2-{\sqrt {2}}}{n}}\cdot 1=0$

となる。

以上の結果から

S = S₁ + S₂ + S₃ = 1 + 0 + 0 = 1 …②

①，②より　1=2

行列式を使った証明

絶対値を計算すると、

$|-1|=1$

行列式を計算すると、

$|-1|=-1$

よって、1=-1

両辺に3を加えて2で割ると、1=2

命題を用いた証明

一般に、仮定があり得ないか、結論が絶対ならば、その命題は真である。

1=2でないと仮定する。

この時、

くさやがいい臭い(あり得ない)ならば、1=2でない・・・①

また、明日も地球は回るならば、くさやは臭い。

言い換えると、明日も地球は回るならば、くさやはいい臭いでない。

これに①を当てはめると、

明日地球は回るならば、(1=2でない)でない。

よって、明日地球は回るならば、1=2である。

これは1=2でないとした仮定に反するので、1=2である。

(証明終)

円周率による証明

ゆとり教育によれば円周率は3である。

一方この証明によれば[1]、円周率は4である。

よって、

3=円周率=4

3=4　両辺から2を引く

1=2

図・グラフを使用した証明方法

1=2グラフ

上図は座標平面上にランダムに点をプロットした図である。確実な証明方法ではないが、1=2であることを視覚的に理解することができる。

正三角形を利用した証明方法

まず、全ての辺が１㎝である正三角形を書く（図①）。この時、AB+AC=2、BC=1である（単位省略）。

次に、ABとACの中点から、BCの中点へ線を引く（図②）。赤いジグザグ線の長さをXとすると、X=AB+ACである。

図②と同様に、中点から中点へと線を引く（図③）。赤いジグザグ線の長さをXとすると、やはり、X=AB+ACである。

この作業を何回も繰り返しても、X=AB+ACは変わらない。最終的には、赤いジグザグ線はBCと重なってしまう（図④）。ゆえに赤いジグザグ線の長さXは以下の式で表わされる。

X = BC = AB + AC

AB+AC=2、BC=1なので、

1 = 2

直角三角形を利用した証明方法

1. まず、右の図のような直角三角形をかく。
2. 1ますを1平方センチメートルとすると、この三角形の面積は8×21÷2=84平方センチメートルである。
3. この三角形を上の図のように分解して、下の図のように同じ直角三角形になるように並べ替える。
4. この三角形も同じ直角三角形であるため、84平方センチメートルであるが、よく見ると中に穴が開いているので、パーツだけの面積は83平方センチメートルである。
5. 同じパーツなので、面積は同じである。したがって、83=84。
6. 両辺から82を引いて、1=2

あの有名な三角形を利用した証明方法

右の三角形の点Aの座標を(0,0,0)とする。

そして、点Bの座標を(0,0,1)とする。

そうすると、点Cの座標は(0,1,1)となる。

したがって、点Aの座標は(1,1,1)となる。

しかし、はじめに点Aの座標を(0,0,0)とするとあるので、(0,0,0)=(1,1,1)

つまり、0=1

両辺に1を足して、1=2

高等理論を使用した証明方法

留数定理を使った証明

複素数 z=x+iy に対して、

$f(z)={\frac {e^{iz}}{(z^{2}+1)^{1}}}$，$g(z)={\frac {e^{iz}}{(z^{2}+1)^{2}}}$

と定める。また、十分大きな R>1 に対して、

$\gamma _{R}=\{z=R(\cos {\theta }+i\sin {\theta })|0\leq \theta \leq \pi \}\cup \{z=x|-R\leq x\leq R\}$

とおく（積分経路は反時計回り）。

z=i における f の留数を ${\rm {Res}}_{z=i}f(z)dz$ と書き表すことにすると、留数定理より

$\int _{\gamma _{R}}f(z)dz=2\pi i\cdot {\rm {Res}}_{z=i}f(z)dz$

z=i は関数 f の1位の極なので、

${\begin{aligned}{\rm {Res}}_{z=i}f(z)dz&=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)\\&=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}\\&={\frac {e^{-1}}{2i}}\\&={\frac {1}{2ei}}\end{aligned}}$

従って、

$\int _{\gamma _{R}}f(z)dz={\frac {2\pi i}{2ei}}={\frac {\pi }{e}}$

同様に留数定理を g（ z=i は2位の極）にも適用すると、

${\begin{aligned}\int _{\gamma _{R}}g(z)dz&=2\pi i{\rm {Res}}_{z=i}g(z)dz\\&=2\pi i\lim _{z\to i}{\frac {d}{dz}}(z-i)^{2}g(z)\\&=2\pi i\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}(iz-3)}{(z+i)^{3}}}\\&=2\pi i{\frac {e^{-1}(-4)}{(2i)^{3}}}\\&={\frac {\pi }{e}}\end{aligned}}$

以上より、

$\int _{\gamma _{R}}f(z)dz=\int _{\gamma _{R}}g(z)dz$

被積分関数 f，g の分母の指数を比較して、

1=2

ルベーグ積分論を用いた証明

$m$でルベーグ測度を表す。一点集合のルベーグ測度は0であることを用いると、

${\begin{aligned}1=\int _{[0,1]}dx=\sum _{a\in [0,1]}\int _{\{a\}}dx=\sum _{a\in [0,1]}m(\{a\})=0.\end{aligned}}$

以上で1=0つまり0=1を得たから、両辺に1を足して、1=2に到達する。

バナッハとタルスキーによる証明

1924年に証明されたバナッハ＝タルスキーの定理によると、3次元空間上では1個の物体を分割してつなぎあわせなおして元の物体と同じ大きさのものを2個にすることができると証明されている。

なお、その証明には選択公理というものを使えばいいのだが、その公理は「何かが入っている袋が複数あったなら、それぞれの袋の中から1個ずつ何かを取り出して、別の袋に詰めることができる」という当たり前のことを言っているに過ぎない。実際、そんな当たり前のことを認めない数学者はほとんどいない。

カリーによる証明

命題Xを「Xが真ならば1=2である」と定義する。

まずXが真であることを背理法により示す。Xが真でないと仮定する。一般に、命題Aが成り立たないことが確定している場合、「AならばBである」という命題は真である（これは対偶をとれば明らか）。背理法の仮定より「Xは真」でないので、「Xが真なら、1=2である」は真である。しかし「Xが真なら、1=2である」はX自身に等しいので、Xが真であることになり、矛盾。

以上の議論よりXは真。

今Xは「Xが真なら、1=2である」と等しかったので、「Xが真なら、1=2である」も真。Xは真だったので、「Xが真なら、1=2である」より、「1=2」が結論づけられる。

非常にまどろっこしい証明だが、世界中の論理学者が頭を悩ませている問題なのである。

ゲーデルの不完全性定理を使った証明

形式的体系Pに属する命題Aが真ならば1,偽ならば0となるような変数xを考える。

このとき、¬A(Aの否定)はx+1の変数が割り当てられる。

もしAと¬Aがともに真であればx=1かつx+1=1、つまり

x - 1 = x + 1 - 1

= 0

x - 1 = x

= 0

x + 1 = x

= 0

この演算は有限体F_2で行っているが、1=0が成立するのは零環のみであるから矛盾。

故にAと¬Aがともに証明できるようなことはありえず、したがってPは無矛盾である。

ここでゲーデルの第二不完全性定理の対偶を取ると「ある体系が条件を満たし、自身の無矛盾性を証明できたのならばその体系は矛盾している」である。

先程証明したPの無矛盾性よりPは矛盾しており、ある命題Bが存在してBと¬Bの両方が証明できる。

Bに割り当てる変数をyとすると、

y = y + 1

Bが真ならば、

1 = 1 + 1

1 = 2

Bが偽ならば、

0 = 0 + 1

両辺に1を足して

1 = 2

シュレーディンガーによる証明

この証明では、シュレーディンガーの猫を数学的に用いる。

ある確率で毒ガスを発生させる装置の付いた箱を用意する。その箱に1匹の猫を入れ、蓋を閉める。

このとき、蓋を開けるまで、箱の中には「死んでいる」と「生きている」という二つの答えが同時に眠っている。すなわち、箱の中に存在する生命の数について、

0=1

両辺に1を足して、

1=2

ガロア理論による証明

ガロアの第一論文の第五定理(可解性定理)より、有理係数の代数方程式が四則演算と冪根のみを用いて解けるのはその方程式のガロア群が可解群であることである。

一般の一次方程式

ax + b = 0

は、

x = -b/a

より可解である。

また、多項式

f(x) = ax + b

のガロア群は対称群

$S_{1}$

であり、これは単位群

$E_{1}$

に等しい。

ここで、可解群とは正規部分群への有限回の縮小を繰り返して単位群が得られ、かつ全ての縮小の群指数が素数であるような群である。

$S_{1}$

から

$E_{1}$

への縮小の群指数は1であり、これは上の可解群の定義より素数である。

故に、6の素因数分解は

6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3

の二通りが得られる。

算術の基本定理より、自然数の素因数分解はただ一通りに決まるため、

1 = 2

リーマンゼータ関数の解析接続を使った証明

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

で定義されるリーマンゼータ関数は一位の極であるs=1を除いたすべての複素数に対して解析接続され、s=-1を代入すると

$\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}$

となる.

s=0を定義式に代入すると

$\zeta (0)=1+1+1+...$

であり、無限級数は

$\sum _{n=a}^{\infty }f(n)=\lim _{p\to \infty }\sum _{n=a}^{p}f(n)$

で定義されているので、1を足す回数は

$\lim _{n\to \infty }n$

回に等しい。

故に、

$\zeta (0)=\lim _{n\to \infty }n$

これが-1/2に等しいということなので、

$n=-{\frac {1}{2}}$

(lim記号を省略している)

ここで、解析接続されたゼータ関数にs=-1を代入すると

$\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}$

となり、定義式と比較すると

$-{\frac {1}{12}}=1+2+3+...$

右辺は1から始まる自然数の総和であり、項数はnなので

${\frac {n(n+1)}{2}}=-{\frac {1}{12}}$

(h)より、n=-1/2を代入して計算すると

$-{\frac {1}{8}}=-{\frac {1}{12}}$

分母を比較し、

8 = 12

両辺から4を引いて4で割ることで

1 = 2

零環を用いた証明

零環においては和の単位元0と積の単位元1は一致するので0=1, よって1=2である．

部分群を用いた証明

空集合 $\emptyset$ は位数が 1 の有限群 $\mathbb {F} _{1}$ の部分群である. 実際,

$\emptyset \subset \mathbb {F} _{1}$

であり, 任意の $x,y\in \emptyset$ に対し

$x*y,\ x^{-1}\in \emptyset$

が成り立つ. したがってラグランジュの定理より, ある整数 n が存在して

n × 0 = 1

が成り立つ. よって 0 = 1 なので, 両辺に 1 を足すと

1 = 2

が従う.

数学以外の理論を用いた証明方法

夏目漱石を利用した証明

夏目漱石-夏目=漱石 ―①

また、夏目漱石と漱石は一般に同一の人物を指すので、

夏目漱石=漱石 ―②

同様に、正岡子規は同一の人物を『夏目』と呼んでいたことから

夏目=漱石 ―③

①を自然数に置き換えると、

③より、2-1=1

同様に、②を自然数に置き換えると、

2=1

両辺を入れ替えて

1=2

ウォーズマン理論

ウォーズマン理論では、「ウォーズマンとベア・クローを合わせて100万パワー、そこに前述のベア・クローをもう1つ加えて合計200万パワー」。

ここで「ウォーズマンとベア・クロー」の合計が100万パワーのため、2で割ってそれぞれ50万パワーと仮定する。

すると後から入ってきた同一のベア・クローが100万パワーのため、500000=1000000となる。

これを50万で割ると、1=2となる。

形而上学的証明

宇宙は無から始まった。

従って、0=1

従って、物などあってもなくても同じである。

ここで、必然的に１つの形而上学的な疑問が思い浮かぶ。

「なぜ何もないのではなく、何かがあるのか?」

その疑問への解答候補は多数考えられるが、オッカムの剃刀より、最も短い解答候補のみが正しいと言える。

その最も短い解答候補は下記である。

「もし、宇宙に何も無いのだとすると、物の在り方を制約する規則も無いはずである。従って、物の在り方を単一の状態に制約する規則である無も禁じられる。従って、物は必然的に存在する。」

従って、0も禁じられる。

従って、1=2

絶対矛盾的自己同一論的証明

絶対矛盾的自己同一論より A は、非A であるが故に、A である。

すなわち、1≠2である　のは、1＝2　であるが故に、1≠2　である。

1≠2は真である。よって、1=2

不確定性原理による証明

まず、1つの素粒子が存在すると考える。

ハイゼンベルグの不確定性原理（ΔxΔp= h/4π）の拡張により「どんな事でも起こり得る」ので、素粒子が1つであり、素粒子は2つでもあるという確率は間違いなく存在する。

しかし、同時にも1≠2である確率も存在するであるかように思われるが排除できる。なぜならば、この原理によると物体が小規模であればあるほど不安定になる。そして、1は小規模である。つまり、不安定と言う事である。そして、素粒子は分裂を起こして、数が二つになる。

また、2も不安定である。なぜならば、もともとは一つであるためだからである。そのため、わずかな時間で融合して数が一つになる。しかし、数が一つの状態も不安定であるため、素粒子は融合と分裂を繰り返して数が一つか、二つか、分からなくなっている。

このことは素粒子の数が1つでもあり、二つでもあると言う事を明らかに示している。よって、1≠2である確率は排除され、1=2である。

補足として、数が3つにも0にもなる可能性があるんじゃないかと言う意見もあるが、3つの状態は元である1つの状態からかけ離れており、とてつもなく不安定であるため、排除できる。0つの状態は、もしあると考えた時、素粒子は消えたり、生まれたりする状態になる。これは明らかにおかしいため、排除できる。

運動方程式を利用した証明

力学の運動方程式

$ma=F$

について、

(左辺)=ma=真

(右辺)=False=偽

が成り立つことから、真=偽であるのはニュートンも認めるところである。

ここで当然「1=2である」は命題として偽であるので

「1=2である」は偽であり真でもある。

従って1=2

眼球による証明

眼球は2つある。しかし、脳によって二つの情報が一つに統合される。これを式に表すと、2眼球=1眼球 両辺を眼球で割って$2=1$となる。

物理の問題による証明

高校物理でもこの手の問題はよく扱われる。右図のように、壁に接した均一な棒が糸によって釣り合いを保っているとする。棒の質量をm、糸の張力をT、壁から受ける力をRとし、さらにRを垂直抗力Nと静止摩擦力Fとに分ける。

モーメントの釣り合いより、

$T\sin \theta ={\frac {mg}{2}}\cos \theta$

$T={\frac {mg}{2}}\cot \theta$

また、

$N=T$

$F=mg$

であるから、任意のθにおけるRとNのなす角φは、

$\phi =\tan ^{-1}(2\tan \theta )$

となる。ここで、θ = φとなる場合を考えると、

$\theta =\tan ^{-1}(2\tan \theta )$

$\tan \theta =2\tan \theta$

よって、$1=2$となる。

悪魔の証明

1=2 である。なぜなら、1=2でないという根拠は自然界にはないからである。

なぜなら、数字は人間が作った物であり、自然界に数字は存在しないため、仮に自然界に確かめたとしてもそれは不可能であるから1=2でないと言う根拠は見いだせない。

詳細は悪魔の証明を参照。

ジャイアンを利用した証明

「お前の物は俺の物。俺の物は俺の物」というジャイアンの言葉がある。……①

よって、お前の物$=a$、俺の物$=b$とすると

$a=b$、$b=b$となる。

しかし、社会的ルールに則ると、お前の物≠俺の物であるから、

a≠b……②

よって、異なる2数が等しくなるという現象が発生する。

ゆえに、1 = 2

じゃんけんを利用した証明

グーはチョキより強いので

グー≧チョキ……①

パーはグーより強いので

パー≧グー……②

①，②から

パー≧チョキ……③

しかし、チョキはパーより強いので

チョキ≧パー……④

③，④から

チョキ＝パー

よってチョキとパーは同じものであることが示されたが、チョキは指2本、パーは指5本である。これが同じであることから

2 = 5

両辺に1を足して3で割ると

1 = 2

銀行の名前を利用した証明

太陽神戸銀行の行員等は今も残っているので、

太陽神戸＞0……①

三井銀行と合併して名前が変わったので

太陽神戸＋三井＝太陽神戸三井＝さくら……②

さらに住友銀行と合併したので

さくら＋住友＝三井住友……③

③に②を代入して、

三井住友＝太陽神戸＋三井＋住友……④

両辺から三井住友を減じ、太陽神戸を加えると

太陽神戸＝2×太陽神戸……⑤

①より、両辺を太陽神戸で割ることができるから、

1 = 2

ブラック企業を利用した証明

ブラック企業である検閲により削除社において、1時間残業しても2時間残業しても、支払われる給与は同額である。

したがって、1=2

音楽を利用した証明1

ジョン・ケージが作曲した『0分00秒』と『4分33秒』はどちらも無音なので、

0分0秒=4分33秒

単位を秒に直して、

0秒=273秒

273秒で割って1を足すと、

1=2

音楽を利用した証明2

ベートーヴェン作曲の『月光ソナタ』第3楽章は4分の4拍子（一小節に四分音符が4つ）であるが、ある小節には四分音符が4.5個分も入る。

よって、

4=4.5

2をかけて7を引くと、

1=2

大相撲を利用した証明

相撲の決まり手といえばもちろん「四十八手」である。

ところで、日本相撲協会によると決まり手は「八十二手」（非技を除く）だそうだ。

したがって、48手=82手

両辺から14手を引き、さらに34手で割ると、

1=2

花束を利用した証明

一束の花束が２束ある。

花を一方に移すと１束になることから、

1=1+1

1=2

鴨川の等間隔カップルを利用した証明

鴨川にいるカップルは等間隔に並んでいるから、その間隔の比は、

1：1：1：1：……

その中の一組が去ると、その間隔の比は、

1：2：1……

鴨川にいるカップルは等間隔に並んでいるから、その間隔の比は等しく、

1=2

為替レートを利用した証明

日本円と米ドルの為替レートは1ドル約100円なので、

1円=100ドル

また、日本円と豪ドルの為替レートは1ドル約50円なので、

1円=50ドル

よって、

50ドル=100ドル

両辺を50ドルで割って、

1=2

JRとNEXCOの運賃料金を利用した証明

JRの運賃は距離比例で計算し端数は9捨10入である。NEXCO料金は距離比例で計算し端数は

24捨25入である。

この事から、これらの運賃料金計算はJR関数、NEXCO関数と置き換える事が可能である。

この、JR関数に定数26円を代入した場合、出力は20円となる。

一方、NEXCO関数に定数26円を代入した場合、出力は50円となる。

よって、26円=(JR)20円=(NEXCO)50円となる。

整理して

20=50

両辺に10を足して

30=60

両辺を30で割る

1=2

2+2=5による証明

2+2=5は真実であり、証明もされている[2][3][4]。

よって、2+2=5

2+2=2+3　両辺から2を引き

2=3　両辺から1を引く

1=2

ただ、本証明の原典が外国語であるため、日本語訳が望まれる。

イオン式による証明

水素をイオン分解すると

H → H+ + e-

記号上では

H+ + e- →He

よって H = He

陽子の数はH=1 He=2

ゆえに1=2

誰も気にしないを利用した証明

最後の晩餐にイエス・キリストが居ても居なくても、誰も気にしない。

ゆえに、13=12

両辺から11を引いて2=1

逆にして1=2

ただし、この証明も誰も気にしない。

Pokémon GOを利用した証明

フレンドからもらえるギフトのアイテム枠より

2パイルのみ=ハイパーボール

コミュニティデイのリサーチの報酬より

2パイルのみ=2ハイパーボール

よって、ハイパーボール=2ハイパーボール

ゆえに、1=2

江戸時代の為替レートを利用した証明

江戸時代の日本での金と銀の交換比率は 金:銀=$1:5$

対して同時期のアメリカでの交換比率は 金:銀=$1:15$

ここに$1:5=1:15$が成り立つので $5=15$

両辺に5を足して10で割ると 1=2

巨大数を用いた証明

華厳経第45巻、阿僧祇品第三十によると、

(那由多)=$10^{28}$

しかし、現代の那由多は

(那由多)=$10^{60}$

よって、

$10^{28}=10^{60}$

両辺の常用対数をとって、

28=60

両辺に4を足して32で割り、

1=2

入試を利用した証明

合格点を利用した証明

二次試験を450点で合格した生徒と500点で合格した生徒がいるとする。この時、

450=合格

500=合格

という２つの式が成り立つ。つまり、

450=500

両辺を50で割り、8を引くことで、

1=2

2019年度大阪大学入学試験の合格発表を利用した証明

2019年度大阪大学入学試験において、合格発表は2019/03/09 09:00JSTに予定されていたが、受験生用ログインシステムへのアクセスの集中によりサーバーがダウンし、同日12:00JST頃にやっと発表された。

時刻を比較することで、

9=12

という式が成り立つ。両辺を3で割って、

3=4

両辺から2を引いて、

1=2

言葉を利用した証明

日本語を利用した証明

"倍"と"2倍"は同じ意味である。よって、

倍 = 2倍

両辺を"倍"で割ると

1 = 2

日本語を利用した証明2

"人一倍"という言葉は、単純に考えれば"人×1"である。

しかし、ここでいう一倍というのは江戸時代以前の表現で二倍という意味であり、"人×2"である。

よって、

人×1=人×2

両辺を人で割ると、1=2

言葉の読み方を利用した証明

"他人事"は"ひとごと"と読むので

他人事＝ひとごと

しかしながら、"たにんごと"と読む人もいるので

ひとごと＝たにんごと

字数に注目すると、

4=5

両辺3を減じて

1=2

漢字を利用した証明

1+1=田である。……*1

また、二+二に関しても、

一つ目の「二」の隙間に「+」を入れ、二つ目の「二」を90度傾けて組み合わせれば「田」である。

よって、二+二=田である。

ところで、二=2である。

よって、2+2=田である。……*2

*1、*2より、

1+1=2+2

2=4

両辺を2で割って

1=2

漢字を利用した証明２

4を漢字で書くと四である。

四の画数は5画だから、

4=5

両辺から3を引いて

1=2

英文を利用した証明

"One over one equals one."は正しい英文であることは、多くの欧米人が認めるところなので明らかである。

ここで主語の"One over one"を訳すと「1を1だけ超えた数」で、すなわち2のことである。

従って、2=1

両辺を入れ替えて、1=2

発音を利用した証明

英語のfishとghotiは同じく/fi∫/と発音する。

ゆえに、fish=ghoti

文字数に注目するとそれぞれ4、5なので

4=5

両辺から3を減じると

1=2

発音を利用した証明2

英語のourとhourは同じく áuər と発音する。

よって、

$hour=our$

また、hourは1時間なので、

$1=our$

また、ourを、私たちの人数をnと置くと、

$1=n$

両辺にn-2を加えると、

$n-1=2n-2$

分配法則を使って、

$n-1=2(n-1)$

両辺をn-1で割ると、

$1=2$

諺を利用した証明

「五十歩百歩」とは、50歩も100歩も変わらないという意味であるから

50歩 = 100歩

両辺を50歩で割ると

1 = 2

諺を利用した証明2

「二兎を追う者は一兎をも得ず」とは、2つのものを取ろうとすると1つも取れないという意味であるから

2つ = 0つ

両辺に2つを足して2つで割ると

2 = 1

逆にして

1 = 2

論語を利用した証明

「論語」の第十一編に「過猶及不如」の記述があり、書き下し文が「過ぎたるは及ばざるが如し」となっている。

「過ぎたるは及ばざるが如し」とは、行き過ぎることも足りなすぎることもよくないという訓戒である。

基準値を1としたとき、足りなすぎることは０、行き過ぎたことは２となる。

よって０＝２

両辺に2を足し2で割ると、

１＝２

故事成語を利用した証明

「行百里者、半於九十（百里を行く者は、九十を半ばとす）」より

100里 ÷ 2 = 90里

50里 = 90里

両辺を10里で割ると

5 = 9

両辺から1を引き、4で割ると

1 = 2

少女雑誌を利用した証明

集○社発行の少女雑誌「りぼん」は、英語のRIBBONを元に名付けられている。

りぼん=RIBBONである。

しかし少女雑誌「りぼん」のアルファベット表記はRIBONである。

よって、りぼん=RIBON

上記の単語はアルファベットを足しあわせたものと考えられるので、

りぼん=R+I+B+B+O+Nとも言える。

同様に少女雑誌「りぼん」=R+I+B+O+Nとも言える。

よって、R+I+B+O+N=R+I+B+B+O+N

両辺からR+I+O+Nを引く。

B=B+B

両辺のBに1を代入する。

1 = 2

イギリス英語、アメリカ英語による証明

イギリスでは１階をグランドフロア、２階をファーストフロアと呼ぶが、アメリカでは１階をファーストフロア、２階をセカンドフロアと呼ぶ。

よって二階の呼び方においてファーストフロア = セカンドフロアが成り立つ。したがって

1 = 2

道具等を使った証明方法

「1=2」は難しい数式を使わなくとも直感的に理解することも可能である。

粘土を使った証明

用意するもの

• 粘土

手順

1. まずは準備した粘土で二つの塊を用意する（これは「2」である）。
2. 二つの塊をくっつけてこねる。
3. 大きな一つの塊となる（これは「1」である）。
4. この時、初めの二つの塊と大きな一つの塊は同一の粘土であることは自明である。
5. したがって、1 = 2

※厳密な証明方法ではないが、その簡明さから幼稚園児や小学生などに「1=2」を理解させる際しばしば用いられている。

また、幼少時のエジソンは砂場の砂の山を用いて1=2であることを理解したというエピソードがある。

プラナリアを使った証明

用意するもの

• プラナリア1匹

手順

1. まず、用意したプラナリアを2つに切る。
2. 観察を続ける。
3. 2匹のプラナリアができる。
4. 1匹のプラナリアから、ほぼ同じ大きさの2匹のプラナリアができたと確認できる。
5. したがって、1 = 2

ゴリラを利用した証明

ゴリラの学名はゴリラ･ゴリラであるから

ゴリラ = ゴリラ･ゴリラ

式を整理すると

ゴリラ = ゴリラ²

両辺の対数をとって

logゴリラ＝logゴリラ²

対数の法則より

logゴリラ＝2 logゴリラ

この時、ゴリラは絶滅していないため、ゴリラ＞0。また、絶滅していないということは、番になって生殖行為を成せているからであるため ゴリラ≧2 である。このことよりlogゴリラ≠0 となり、両辺を logゴリラ で割ることができる。したがって

1 = 2

最近この証明を使わせまいとゴリラの種名がニシゴリラに変更されてしまったが、カラカル(学名:カラカル・カラカル)やマリオ(本名:マリオ・マリオ)を代用することで問題なく1=2が証明できる。

イエス・キリストを利用した証明

西暦元年はイエス・キリストが誕生した年として定義されているが、キリストは紀元前4年に生まれているため

-4 = 1

両辺に9を足して5で割ることにより

1 = 2

キリスト教の教義を利用した証明

キリスト教の「三位一体」とは、「父なる神」「子なる神」「聖霊」の三者が一体の神と等しいという意味である。よって、

3 = 1

両辺に1を足して2で割ると

2 = 1

両辺を入れ替えて

1 = 2

ローマ・カトリック教会の化体説を利用した証明

カトリック教会の聖体のパンにはキリストが現存する。ただし、キリストは全体として現存し、それぞれのパンに分割されることはない。

つまり聖別した1つのパンを2つに分ければ、1人のキリストが2つのパンそのものである。よって、

1=2

観音菩薩を利用した証明

「観音」は「観」と「音」の二文字からなっているので

観+音=観音

「観」の音読みは「kan」、「音」では「on」である。また「観音」では「kannon」なので

kan + on = kannon

両辺からkanonを引いてnで割り、1を足すことで

1 = 2

時計を利用した証明

日本のデジタル時計は大抵、午後の1時を13時と表記するので

1時=13時

両辺に11時を加え12時で割ることにより

1 = 2

カレンダーを利用した証明

閏年の場合、2月28日の2日後は3月1日であるので

2/28 + 2 = 3/1

しかし、平年なら2月28日の2日後は3月2日なので

2/28 + 2 = 3/2

したがって

3/2 = 3/1

両辺を3で割って2をかけると

1 = 2

新聞の投書を利用した証明

どっかの国の新聞の投書に以下のようなものがあった。（実話）

私は、離婚暦のある娘を持つ女性と結婚しました。その娘が私の父と恋に落ち結婚しました。そこで、私の父の父は私である。すなわち、私の祖父は私である。

この投書を応用する。

私の娘は一親等である。・・・①

また、私の父の配偶者、すなわち祖母は二親等である。・・・②

また、私の母は私の祖母である。・・・③

①～③より

一親等=二親等

すなわち

1=2

命題と対偶を利用した証明

「お腹が空いたらご飯を食べる」という命題について考える。

これは明らかに真である。 一方、対偶をとると、 「ご飯を食べなければお腹は空かない」 となり、これは明らかに偽である。

一般的に、真である命題の対偶は真なので、 真 = 偽 となる。

ここで、「1＝2という命題」を考える。 これは明らかに偽なので、真である。

よって、1 = 2

一部屋25ドルのホテルによる証明

3人の男がホテルに入りました。ホテルの主人が、一晩30ドルの部屋が空いていると言った ので、3人は10ドルずつ払って一晩泊まりました。次の朝、ホテルの主人は部屋代が本当は25ドルだったことに気がついて、余計にもらった分を返すようにと、ボーイに5ドルを手渡しました。

ところがこのボーイは「5ドルでは3人で割り切れない」と考え、ちゃっかり2ドルを自分のふところに納め、3人に1ドルずつ返しました。

さて、整理してみましょう。3人の男は結局部屋代を9ドルずつ出したことになり、計27ドル。それにボーイのくすねた2ドルを足すと29ドル。

このことから

30=29

両辺を入れ替え28を引くと

1=2

スーパーマリオブラザーズを利用した証明

スーパーマリオブラザーズは、残機128の状態だと一発ゲームオーバー(残機0)になる。

すなわち

$128=0$

128で両辺を割ると

$1=0$

両辺に1を足して、右辺と左辺を入れ替えると

$1=2$

ジャッキー・チェン映画を利用した証明

映画「ARMOUR OF GOD」(邦題:サンダーアーム)という映画がある。

続編「ARMOUR OF GOD 2」(邦題:プロジェクト・イーグル)もある。

米国で「2」が公開される際、前作が未公開だったため、題を「OPERATION CONDOR」とした。

米国でも追って前作を「OPERATION CONDOR 2 ： ARMOUR OF GOD」として公開した。

すなわち

ARMOUR OF GOD(1) ＝ OPERATION CONDOR 2

ARMOUR OF GOD 2　＝ OPERATION CONDOR(1)

つまり1=2、2=1であることが分かる。

SCP-240-JPを利用した証明

0匹のイナゴを1匹Nice boatするとイナゴは0匹になる。

すなわち

$0-1=0$

両辺に2を足して

$1=2$

婦人による証明

ある宝石店に婦人がやってきて、50万円を渡して50万円の宝石を買っていきました。

しかしその数分後婦人は再び店に戻り、100万円の宝石との交換を希望しました。

婦人は「さっき50万円を払い、今50万円の宝石を返した。合わせて100万円だ。」と主張し、100万円の宝石を持っていきました。

婦人は50万円を払い、100万円の宝石を手に入れたので

50万 = 100万

両辺を50万で割ると

$1=2$

南京大虐殺を利用した証明

南京大虐殺とは、20万人いた南京市民が約1週間にわたり日本兵により30万人虐殺され25万人まで減らされた事件である。

このことを数式に整理すると

200000人-300000人=250000人

となる。

両辺に300000人を加えると

200000人-300000+300000人=250000人+300000人

200000人=550000人

両辺に150000人を加え、350000人で割ると、

1=2

キャバクラを利用した証明

開店時間の利用料金は4000円/1タイム、閉店間近の利用料金は8000円/1タイムである。

この時サービス内容に差異はないことから。

4000円/1タイム=8000円/1タイム

となる。

両辺に1タイム/4000円をかけて

1=2

パソコンを使った証明

ファイルを使った証明

手順

1. 1バイトのファイルを作る。
2. 2バイトのファイルを作る。
3. 両方のプロパティを表示する。
4. 「ディスク上のサイズ」のところを見ると、同じである。
5. したがって、両方のファイルの実質的なサイズは同じである。
6. よって、1バイト=2バイト
7. したがって、1 = 2

Excelを使った証明

手順

1. Excelを起動する。
2. どれかのセルに、「=sqrt(-2)」と入力する。
3. ほかのどれかのセルに、「=sqrt(-1)」と入力する。
4. その計算結果を見ると、どちらも同じである。
5. 従って、(-2) = (-1)
6. 両辺に3を足すと、1 = 2

このことは、Windowsの電卓でもできる（はずである）。

Active Basicを使った証明

#N88BASIC
Dim a As DWord
Dim b As DWord
a=0
b=4294967296
If a=b Then Print "はい" Else Print "いいえ"

手順

1. Active Basicを起動する。
2. 「Basicプログラム」を新規作成する。
3. 上記のプログラムを入力する。
4. このプログラムを実行すると、「はい」と表示される。
5. よって、0=4294967296
6. 両辺を4294967296で割って、0 = 1
7. 両辺に1を足して、1 = 2

C言語による証明その1

C言語を使っても、1=2を証明できる。「C言語なんて知らないよ」という人のために、各行で何をやっているのかをきっちり解説した（/*…*/の部分）ので安心して読んでほしい。

以下は「1=2ならYESを表示しろ」という趣旨のプログラムである。このプログラムを実行すると、YESを表示する。したがって「1=2」である。

 #include <stdio.h>

 int main(void) {
     int a=1,b=2;                         /* 「a=1」、「b=2」とする。　　*/
     if ( a = b )  puts ("YES");          /* 1=2ならYESと表示する。　　　*/
     return 0;                            /* 終了する。　　　　　　　　　*/
 }

C言語による証明その2

以下は「0.1の10倍が0.2の10倍に等しければYESを表示しろ」という趣旨のプログラムである。このプログラムを実行すると、YESを表示する。よって「1 = 0.1の10倍 = 0.2の10倍 = 2」である。

 #include<stdio.h>

 int main(void) {
     int a=0.1,b=0.2;                     /* 「a=0.1」、「b=0.2」とする。*/
     if(10 * a == 10 * b)    puts ("YES");
                   /* 10×aと10×bが等しいことが偽でなければYESと表示。　*/
     return 0;                            /* 終了する。　　　　　　　　　*/
 }

C言語による証明その3

以下は「(2-0)×(2-1)を計算しろ」という趣旨のプログラムである。このプログラムを実行すると、1を表示する。よって「2 = (2-0)×(2-1) = 1」である。

 #include <stdio.h>
 
 #define A 2 - 0              /* 「A = 2 - 0」とする。　　　*/
 #define B 2 - 1              /* 「B = 2 - 1」とする。　　　*/
 
 int main(void) {
     printf("%d",A*B);        /* A×Bを表示する。 　　　　　*/
     return 0;                /* 終了する。　　　　　　　　 */
 }

C言語による証明その4

以下は「1/3が2/3に等しければYESを表示しろ」という趣旨のプログラムである。このプログラムを実行すると、YESを表示する。よって「1/3 = 2/3」であり、両辺に3を掛けて「1 = 2」である。

 #include <stdio.h>
 
 int main(void) {
     if(1/3==2/3)puts("YES");  /* 1/3と2/3が等しければYESと表示する。 */
     return 0;                 /* 終了する。　　　　　　　         　 */
 }

C言語による証明その5

/*= (割って掛けて代入)、*/= (掛けて割って代入) という演算子を用いた方法で証明する。以下のプログラムは、bを2で割ってかけてかけて割った値を表示するものである。

#include <stdio.h>

int main() {
    int a, b;
    a=1; b=1;
    b /*= 2;
    b */= 2;
    printf("a = %d, b = %d", a, b);

}

bは計算上1になるが、ここでは2と表示される。よって1=2となる。

Google Calculatorによる証明

Googleで「2^64+1」と検索すると、「1.8446744e+19」という計算結果が出力される。

また、「2^64+2」と検索すると、「1.8446744e+19」という計算結果が出力される。

したがって、2^64+1 = 2^64+2

両辺から2^64を引いて、1=2

Google Calculatorによる証明2

Googleで「2^53-1-2^53」と入力すると「0」となる。

したがって、2^53-1-2^53=-1=0

両辺に2を足して、1=2

Javascriptによる証明

Javascriptにおいて、以下の文を評価すると真となる。

null==undefined

したがって、

null = undefined

また、以下の二式を評価すると、4と9になる。

String(null).length　// 4
String(undefined).length // 9

null = undefinedよりString(null).length = String(undefined).length。

したがって、

4 = 9

片々1を足して2で割り

1 = 2

Pythonによる証明

Pythonにおいて、以下の文は真である。

a = 10**1000
b = 10**1000
a == b # True

ここでa = bを得た。次にa, bのIDを調べる。

id(a) # 4450801104
id(b) # 4452462640

a = bより、id(a) = id(b)

id(a) = 4450801104, id(b) = 4452462640より、

4450801104 = 4452462640

片々4450801104で引いて、

0 = 1661536

1661536で割って1を足すことで1 = 2を得る。

計算量を使った証明

手順

1. O(1)=O(2)
2. よって1=2

1=2で簡単に解明できる問題

1=2であることにより、難解な命題も容易に証明することができる。ここに、いくつか例を挙げてみよう。

すべての数は等しい

下の証明のうちいくつかの基礎となる。この証明は自然数、整数、有理数、無理数、実数、複素数などあらゆる数に適用できることに注意しよう。

証明)

任意の2数をn,mとおく。

1=2

3=6

-1=2

-(n-m)=2(n-m)

-n+m=2n-2m

-n-2n=-2m-m

-3n=-3m

n=m

よって任意の2数は等しい。

したがってすべての数は等しい。

（証明終）

別解)

任意の2つの数をa,bとおく。

1=2

0=1

0=b-a

a=b

よって任意の2つの数は等しい。

任意の数は自由に選べることから、すべての数は等しいことは自明である。

（証明終）

東條首相の算術

詳細は東條首相の算術を参照。

1=2の証明を用いることによって長年解くことの出来なかった問題を解くことが出来る。詳細な証明方法は当該記事を参照のこと。

東京大学入学試験問題 2003年前期 理系問6

問:円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

かつて東京大学の入学試験で出題された有名な問題であるが、以上のことを用いれば朝飯前なのだ。しかも数学者気取りのかっこつけた証明が可能である。

証明)

この命題を直接証明することも可能だが、後のためにより強い命題を示してその系として導くことにする。

すべての数は等しいのでπ=2.05かつπ=3.05かつπ=4.05

従って、円周率は3.05より小さく、かつ3.05と等しく、かつ3.05より大きい。

この系として円周率は3.05より大きいことが導かれる。

※上の証明の別の系として円周率が3.05以下であることも導かれる。したがってこの命題は「真であり、かつ偽である。」東大ならではの不思議な問題といえるだろう。

京都大学入学試験問題 2006年後期・文理共通

問:tan1°は有理数か

京都大学の入学試験ではこんな問題が出題されたが、当時は出来が非常に悪かったらしい。しかし、1=2を使えば簡単なのである。これで君も京大生だ!

証明)

tan1°は無理数であると仮定する。

1=2であるからtan1°=tan2°=無理数。

また、tan(x+1)°=tan(x-1+2)°=tan(x-1+1)°=tanx°

より、tanx°が無理数ならtan(x+1)°も無理数。

従って、帰納的にtan45°やtan156°も無理数となる。

ところが、tan45°=1(=有理数)より矛盾が生じる。

よって、tan1°は有理数である。

栗まんじゅう問題

詳細は栗まんじゅう問題を参照。

栗まんじゅう問題の内容を説明するには余白が狭すぎるので、当該項目を参照のこと。栗まんじゅう問題で、たくさんの科学者などが悩んでいたが、1=2が証明されたことにより、簡単に解けるようになった。

証明）

栗まんじゅうが5分ごとに2倍に増えるが、1=2により1倍となり、元の数のままとなるので、どうにもならない。

コラッツの問題

この問題は小学生でも理解できる問題だが、証明が極めて困難と言われており、数学の未解決問題の1つである。しかし、これらを用いることで、簡単に解くことができる。

コラッツの問題を簡単に説明すると、任意の自然数 nをとって、

• nが偶数の場合、nを2で割る
• nが奇数の場合、nに3をかけて1を足す

という操作を繰り返して、有限回で1に到達できるかというものだ。(例：12→6→3→10→5→16→8→4→2→1)

詳しくはWikipediaで調べてね。

証明)

すべての数は等しいので、任意の自然数 nは2に等しい。

また、2は偶数であり、2で割るという操作1回で1に到達する。

従って、コラッツの問題は正しいことが示された。

ゴールドバッハの予想

1742年に予想されて以来、いまだ証明されていない未解決問題の一つである。ゴールドバッハの予想とは、「全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる」というものだ。ゴールドバッハの予想に人生を翻弄された数学者とその甥を描いた『ペトロス伯父と「ゴールドバッハの予想」』という小説もあるくらい、多くの数学者を悩ませ続けた。しかし、すべての数が等しいことが証明されたため、この問題も氷解したこととなる。

証明)

すべての数は等しいので、全ての 2 よりも大きな偶数は4に等しい。

4は、4=2+2と、二つの素数の和として表すことが出来る。

よって、すべての2より大きな偶数は、2+2に等しく、二つの素数の和として表すことが出来る。

したがって、ゴールドバッハの予想が正しいことが証明された。

リーマン予想

これは少し頭の固い人向けになるが、未解決問題の一つである。これは100年以上数学者を悩ませてきた超難問であるが、1＝2の解決により終止符が打たれた。ゼータ信者達はとても混乱したという。

まず、次のような関数「ゼータ関数」$\zeta (s)$を定義する。なお、s は複素数とする。

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots$

さて、sが負の偶数の場合この値が0になることは示されているが、それ以外でこの関数の値を0にする複素数sはすべて実部が${\frac {1}{2}}$である。というのがリーマン予想である。

確か、100ページ以上に渡る論文を書いて不備が発見され悔し涙を流した数学者もいたが、すべての数が等しいことさえ示してしまえば証明は一瞬で終わる。

すべての複素数は実部が ${\frac {1}{2}}$ に等しいので、零点がどこにあってもそれはすべて実部が ${\frac {1}{2}}$ である。従ってリーマン予想は正しいことが証明された。

双子素数予想

「差が2である素数の組は無限に存在する」という予想である。

紀元前から考えられていたが解決はしていなかった。しかし、1=2の登場で終止符が打たれた。

全ての2組の素数は(3,5)であるため、双子素数予想は真である。

P対NP問題

このP対NP問題はミレニアム懸賞問題の一つである。問題の内容は

「P=NPか?」というものである。

すべての数が等しいのだから全ての集合が等しいことは言うまでもない。

よってP=NPであることが証明された。

多くの研究者が信じていたP≠NPであるという仮説が見事に覆されたのである。 　　　　　　　

ミレニアム懸賞問題

ミレニアム懸賞問題の一つである未解決問題「P=NP問題」も、1=2という大定理を使うと一瞬で解けてしまう(1=2=…=多項式=指数より自明)。

この問題を解決した人はクレイ研究所から100万ドルもの賞金を貰えるので、君も早速クレイ研究所に連絡した方がいい。早い者勝ちだ。ただし、君の連絡を受けてクレイ研究所が精神病院に電話をかけたとしても当方は一切責任を追わない。あ、僕は上に書いた証明で賞金を貰うつもりはないので、その点は御安心を。僕はペレルマン並に謙虚だからね。

「生命、宇宙、そして万物の問い」が6×9であることの証明

生命、宇宙、そして万物の答えは42である（これは頭のカタいウィキペディアンはもちろん[5]、Googleすら認める[6]事実）から、

42

=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+……+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

=1+1+1+1+……+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2

=60

=6×10

=6×(8+2)

=6×(8+1)

=6×9

=生命、宇宙、そして万物に関する問い

よって、「生命、宇宙、そして万物の答え」は6×9であるという理論がある。

地球の歴史は無駄ではなかったのだ。

2038年問題

2038年問題とは、2038年1月19日3時14分7秒にコンピュータが誤動作する可能性があるとされる問題だが、1=2の証明により、この問題は発生しないことが証明される。

UNIX系のOSを採用したコンピュータの時間管理は32bitのレジスタで管理されるため、取扱い可能な最大時間は2147483647秒と言われている。 一方、1=2であるため、この最大時間の1秒後(2147483648)は最大時間に等しいことは明らかである。 これは、レジスタのバッファ溢れが発生しないことを意味する。

逆に2038年問題が発生すると仮定すると、既に現実で起こっていなければならない。

例えば、そのような問題が起こらなかった2014年1月1日0時0分0秒を例に説明すると、 2014年1月1日0時0分0秒のUNIX時間は1388502000秒であるが、1=2より

2147483648 = 2147483647 = 2147483646 = … = 1388502000 秒

となり、この問題は既に発生していなければならない。 しかし2014年1月1日0時0分0秒は、twitterを中心とするインターネット上のサーバの負荷が一時的に増加したが、誤動作の問題までは発生していない。

したがって、2038年問題は発生しないことが証明される。

(補足)

1=2であることによって、2038年問題だけでなく永久的な時間管理の問題をも解決できる。 これは時間情報を保持するレジスタのbit数に関して、以下の関係が成り立つためである。

32 = 33 = 34 = 35 = … = ∞ bit

すなわち、時間情報を保持するレジスタのサイズは無限bitとなるため、無限の時間を管理可能となる。

かけ算の順序問題

1970年代に、小学校教育の次元において掛け算の交換法則が成り立たないという問題、いわゆる「かけ算の順序問題」が提唱され、現代数学における最大の難問の一つとされてきた。しかし、この問題も1=2を使うことで容易に解決することが可能となる。

小学校教育学の基本原則によると、任意の整数aおよびbにおいて、「a×b」と「b×a」は等価ではない、すなわち

a×b≠b×a

が成り立つとされる。しかし、上でも述べたように1=2を用いて「すべての数は等しい」ということが証明できるため、「a×b」と「b×a」は共に1に等しい。すなわち、

a×b＝b×a

が成り立つ。これにより、掛け算の交換法則は間違いなく成立することが証明され、長年の議論に終止符が打たれ、小学校教育学の理論体系は根底から覆されることとなった。

安倍晋三の1=2

安倍晋三が発明した一文字

安倍晋三首相は「自分にとっての今年の一文字」を聞かれた時に「責任」の二文字を答えた。これは、1=2が正しいという公式の政府見解と言われている。

生活の中の1=2

• 1万円銀行に預金すると、2万円預金したことになる。逆に闇金融で 1万円を借りると、あっという間に 2万円返済しなければならなくなる。
• 2頭の牛を持っているということは、実は4頭の牛を持っているということである。
• 半額セールは「1つ分の値段で2つ買える」と謳っているが、これは悪徳商法の極致である。1つ分の値段で1つ買うのと同じことだし、2つ分の値段で1つしか買えないとも言える。
• 一輪車のタイヤを注文すると、2つのタイヤが来る。自転車のタイヤはセットで注文しても1つしか来ない。
• 片側2車線の高速道路は1車線しか使えず、また、下信越自動車道のある区間のように片側1車線の場合は実際には片側2車線である。
• ウィキペディアの1という記事は2へリダイレクトするべきである。
• 「ポケットをたたくとビスケットが2つに増える」という歌があるが、1=2なのでやはり1つであり、実際には少しも増えていない。つまりこの歌は、本当は「現実そんなに甘くない」ということを意味している。
• カップラーメンができるまで3分かかると言われるが、実際に待つのは1分でいい。また、1分=60秒である。60=30*2。30=15*2であり、これを続けると、待たなくてよいことが証明できる。
• あなたは一人ではない。 しかし、大勢居たところで結局は一人である。
• 「三人寄れば文殊の知恵」などというがもちろんプラシーボ効果であるし、むしろ悪化している（1+1+1=3、しかし1=3なので1+1+1=1、3で割って1=1/3、したがって1+1+1=1/3）
• 「一日千秋」という四字熟語は、時間が普段より長く感じられるさまの意味であるが、すべての数は1に等しいので、実際に1日の間に千秋過ぎていることがわかる。よって、12日間あれば「一万年と二千年前から愛してる」と称することができる。
• 試験で100点を取ったとしてもそれは100=50*2=25*2*2=5*5*2*2であり、1=2,5=2+3,3=1+2を使い5*5*2*2=(2+3)(2+3)*1*1=(1+1)(1+1)*1=2*2*1=1*1*1=1よりそれは1点を取ったのと変わらない。ただしその逆は大人の都合により通常ならば証明できない。が、そこで証明できてしまうのが現実というものである。
• 全ての数は1に等しいので、数学のテストでは、全て1と書けばいいことになる。よって、数学ではテストの意味がなくなる。
• 2時に会議がある場合、2時には会議室に居ないといけない。ところが1=2より、1時までに会議室に居ないといけないことになる。つまり1時間待つことになる。ところが1=2より、2時間待たないといけないことになる。よって12時までに会議室に居ないといけない。ところが1=2なので、12=10+2=10+1=11となり、11時までに会議室に居ないといけない。会議室まで1時間かかる場合10時に家を出ればいいが、1=2より2時間かかるかも知れないので、9時に家を出なければいけない。もしこれで10時到着の場合、1時間かかったことになる。しかし1=2より、2時間かかったことにもなるので、家を8時に出発したことにもなる。だから家で過ごした8~9時は、存在しなかったことになる。歯磨き・髭剃り・髪の手入れをこの時間帯に済ませた場合、会議室に10時到着した途端、また歯が汚れ、髭が伸び、寝癖が出来る。また起床がこの時間帯であった場合、会議室に10時到着した途端、主人公は寝てしまう。何としても8時までに事を済まさなければいけないので、8時からは暇になる。なので8時に家を出発しないといけない。ところがこれでは予定より1時間早い。1=2より、これは予定より2時間早いとも考えられ、9時(この時間帯)に家を出ることにもなり、これで10時到着したら主人公は再び振り出しに戻る。
• 2択問題は1=2であるから、1択問題と同じことになる。すなわち2択問題が出された場合、100%の正解率が望めるのであるが、1=2により50%の正解率しか望めない。つまり○を選んでも、×を選んでも正解率は50%であるから、選ぶ意味は無いのである。
• 007シリーズに「007は二度死ぬ」とあるが、1=2より、(一度死ぬ)=(二度死ぬ)となる。よってエージェントは一度しか死なないので、普通の人間である。これにより、1度死んだ人間は蘇り、もう一回死ねる可能性があるので、キリストが蘇った理由も説明できる。
• 一撃必殺は一撃ではない。なぜなら一撃必殺は1=2より、一撃=二撃であるため、二撃必殺となる。しかし、一撃を与えたところで、あと一撃で倒せるはずであるが、1=2より、一撃=二撃となり、あと二撃必要となり、三撃必殺となってしまう。これを順次適用すると、一撃必殺はいくら攻撃しても倒すことができないということになる。
• 2ちゃんねるは2chと表記される。2ch＝2*c*hである。ここで1=2より、2*c*h=1*c*h=1chである。日本の公共放送は、全国6、7割ほどの都府県にて1chで放送されている。ゆえに、2ちゃんねるは日本の公共放送である。また、もともと2chも公共放送のことがある。どちらにしろ2ちゃんねるは、日本の公共放送である。
• 2ちゃんねるで、同一人物が>>1と>>2に書き込んだ場合、1+1=2+1により2=3となる。つまり「全てのレスは同一人物によるもの」だということである。
• 開店前からできている行列の先頭に並んでいる人は、1=2により2人目の客となる。よって一番前に並んでいる客の前に、もう一人客がいることになる。これを繰り返すと無限に客がいることになる。しかし並んでいるほぼ全ての人はこのことを知っているため、諦めて列から抜けてしまう。だから列が出来てもちゃんと店に入れるのである。
• 「one for all ― all for one」(一人は全員のために、全員は一人のために)という言葉があるがこれもただの奇麗事に過ぎないことがわかる。なぜならallがn人だとすると、すべての数が等しいことから n（all）= 1(one)。したがってこの標語は「one for one － one for one」(一人は一人のために、一人は一人のために)となり、やはり現実は「個人は個人のことしか考えていない、自己中心的人間ばかり」ということになる。
• この証明を用いることによって、肯定的に解決されたことになっていた四色問題の否定の証明が得られた。
• あらゆる数は1で表せるため、アナログのデジタル化が可能ということが証明された。この世のデジタル化はすべてこの証明が根拠となっている。
• この証明を用いることによって、建築工事にかかる費用や工程を大幅に減らす事が出来る。例えば2階建ての家を建てるとすると、1階=2階より、建てるのは1階分だけで済むからだ。もっと高いビルなども1階分建てれば済んでしまう。
• 昼食と夕食は実質的には同じである。なぜなら12時に取る食事は1=2より、21時、実際には夜の9時に取る食事だからである。
• 一生のお願いは何度でもすることができる。したがって一生のお願いと言ってくる奴は軽い気持ちで頼んできているので叶えてやる必要はまったくない。
• ミドリムシやアメーバなど単細胞生物を1匹飼って、しばらくエサを与えていると、なんと2匹になっているのだ。
• 「はーい、二人組作ってー」と言われて二人組を作れたとしても、1=2により一人組となり、結局ぼっちである。
• 通勤ラッシュ時に8時01分発の電車があったとする（というか、世界中に山のように存在している）。しかし、エクストリームスポーツかけこみ乗車等により出発が遅れ、その電車が8時02分に出発したとしよう。しかし、この電車は時刻表上あくまでも8時01分発の電車である。よって、8時01分の電車＝8時02分の電車。両辺から「8時」と「分発の電車」を引き去れば、1=2となる。
• １００万ちょうだい　というやつには1円貸してやればよい

関連項目

• 数学的帰納法 - 数学的帰納法が楽に使えるという、1=2の使い方の例
• ゼロで割る方法
• 1+1=田
• 1+1=2
• 数式
• ユーモア欠落症患者が執筆したと思われるブログ

英語版Uncyclopediaの記事(en:1=2) 16:41, 14 August 2006 より翻訳。だが、現在では英語版とは似ても似つかない。